皆さん、こんにちは。
今回担当させていただく、枝川です。
中学・高校の数学で一度は習う「確率」。元塾講師の私の肌感では、比較的苦手な人が多いイメージがあります。
しかし、実際はそれほど難解なものではなく、基本的には単純な演算の連続で求めることができます。
今回は、そんな「確率」に関する興味深い話をご紹介していきたいと思います。
モンティホール問題
3つのドアがあります。
どれか1つが「当たり」で、残りの2つは「外れ」です。
「当たり」のドアを開けると景品がありますが、「外れ」のドアを開けても何もありません。
今、あなたはドアを1つ選びました。
その後、正解を知っている司会者（モンティ）が、あなたが選ばなかった2つのうち「外れ」のドアを1つ選んで開けました。
ここであなたは、「最初に選んだドア」と「残っているドア」のうち、好きな方を選ぶことができます。
ドアの選択はこのままでいいだろうか？
それとも変えるべきだろうか？
さあどうでしょうか。
全米で大論争
答えを発表する前に、この問題が有名になった出来事を紹介します。
この問題は、アメリカのゲームショー番組「Let’s make a deal」にて行われたゲームが元になっています。
その番組の司会者の名前が「モンティ・ホール」だったので、このような名称で広く知られています。
1990年9月9日、ニュース雑誌「Parade」にてマリリン・ボス・サヴァント氏が連載するコラム「マリリンにおまかせ」で、彼女はこの問題に対して、次のように答えたのです。
正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ。
すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展しました。
投書には、1000人近い博士号保持者からのものも含まれており、その大部分は「ドアを変えても確率は五分五分（2分の1）であり、3分の2にはならない」とするものだったのです。
解答
では、答えはどうなのでしょうか。
答えは、「ドアを変えなかった場合に当たる確率は1/3（約33%）で、ドアを変えると当たる確率は2/3（約66%）。よって、変えるべきである」です。
以下、簡単に解説してみます。
司会者のホール氏がドアを変えるか聞いたとき、
ドアを変えない場合は、当たる確率は1/3ですね。どれか一つが正解である三つのドアから一つを選ぶとき、当たる確率は当然1/3です。
ですので以下では、必ず”ドアを変える行動をとる”と決めて話を進めましょう。
仮に、Bのドアが当たりだとします。挑戦者はA、B、Cのドアのどれかを選びますが、すべての場合について考えてみましょう。
まずは、Aを選んだ場合です。この場合はハズレのドアを選んでいることになります。
次に、ホール氏はもう一つのハズレのドアを開けることになります。つまりドアCです。
ここで、ドアを変えると当たりのドアBになりますね。よって、ドアAを選んだ場合は最終的には、当たるということです。
次は、始めにBを選んだ場合です。このドアは当たりのドアです。
ホール氏がハズレのドアを開けますが、これはA、Cどちらのドアを開けるかはホール氏の気分次第ですが、どちらでも結果は変わりません。
いずれにせよ、ドアを変えるとハズレのドアになってしまいます。よって、ドアBを選んだ場合は最終的には、ハズレるということです。
最後に、ドアCです。このドアはハズレですね。
ホール氏は、もう一つのハズレのドアAを開けることになります。
ここで、ドアを変えるとアタリのドアBとなりますね。よって、ドアCを選んだ場合は最終的に当たります。
つまり、ハズレのドアを始めに選ぶと最終的には当たり、当たりのドアを選ぶと最終的にはハズレるということです。ハズレのドアは二つ、当たりのドアは一つなので、最終的に当たる確率は、2/3ということになります。
錯覚
このモンティホールは、直感と真実に大きな乖離がある、という確率トリックの有名例でもあります。
世の中には、数字の錯覚があふれています。
例えば、「レタス○○個の食物繊維配合！」など。
実は、レタス自体の食物繊維はそれほど多くありません。
皆さんも、世の中にありふれている数字の錯覚に騙されないようにしましょう！
